1º)-(IME-2009/2010) Sejam os conjuntos P1, P2, S1 e S2 tais que (P2 ∩ S1) ⊂ P1,( P1 ∩ S2) ⊂ P2 e (S1 ∩ S2) ⊂ (P1 ∪ P2).
Demonstre que (S1 ∩ S2) ⊂ (P1 ∪ P2).

RESPOSTA:

Seja x ∈ S1 ∩ S2. Então:

(1) x ∈ S1

(2) x ∈ S2

(3) x ∈ P1 ∪ P2, pois (S1 ∩ S2) ⊂ (P1 ∪ P2), por hipótese.

Logo x e P1 ou x ∈ P2, por hipótese.

Logo x ∈ P1 ou x ∈ P2, por (3). Podem ocorrer dois casos:

a) x ∈ P1 . Nesta situação, por (2), tem-se que x ∈ P1 ∩ S2. Assim, por

hipótese, x ∈ P2, visto que (P1 ∩ S2) ⊂ P2.

Então:x ∈ P1 ∩ P2, b) x ∈ P2. Aqui, conclui-se que x ∈ P2 ∩ S1, por (1). Como (P2 ∩ S1) ⊂ P1, por hipótese, deve-se impor que x ∈ P1.

Portanto, novamente x ∈ P1 ∩ P2.

Desta forma, em qualquer caso, tem-se que x ∈ S1 ∩ S2 implica x ∈ P1 ∩ P2, isto é, (S1 ∩ S2) ⊂ (P1 ∪ P2).

2º)-(IME-2009/2010) Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são lançados simultaneamente.Determine a
probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado.

RESPOSTA:

Considere que a, b e c são os resultados que saem em cada dado. Inicialmente deve-se enumerar os casos em que a + b =
c para depois calcular as devidas permutações de modo que os casos em que a + c = b e b + c = a também sejam calculados.

i) soma = 2: (1, 1, 2) → 3!/2! = 3 possibilidades

ii) soma 3: (1, 2, 3) → 3! = 6 possibilidades

iii) soma 4: (1, 3, 4) → 3! = 6 possibilidades
(2, 2, 4) → 3!/2! = 3 possibilidades

iv) soma 5: (1, 4, 5) → 3! = 6 possibilidades
(2, 3, 5) → 3! = 6 possibilidades

v) soma 6: (1, 5, 6) → 3! = 6 possibilidades
(2, 4, 6) → 3! = 6 possibilidades
(3, 3, 6) → 3!/2! = 3 possibilidades

Logo, a probabilidade pedida vale: P= 3+6+6+3+6+6+6+6+3/6X6X6 => P= 5/24

3º)- (IME- 2009/2010) Seja a equação pn + 144 = q2, onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. Determine os possíveis
valores de n, p e q.

RESPOSTA:
pn = q² – 122 ⇒ pn = (q – 12)(q + 12)

Uma vez que p é primo, deve-se ter: q-12=pa
q+12=pa-n, onde n – a > a pois q + 12 > q – 12

Subtraindo as duas equações:pn – a – pa = 24 ⇒ pa(pn – 2a – 1) = 2³.3

Se a ≠ 0, sendo p um número, primo há apenas quatro possibilidades:

i) p = 2 e a = 1 ⇒ 2n – 2 – 1 = 12 ⇒ n ∉ IN

ii) p = 2 e a = 2 ⇒ 2n – 4 – 1 = 6 ⇒ n ∉ IN

iii) p = 2 e a = 3 ⇒ 2n – 6 – 1 = 3 ⇒ n = 8 ⇒ q = 20

iv) p = 3 e a = 1 ⇒ 3n – 2 – 1 = 23 ⇒ n = 4 ⇒ q = 15

Se a = 0: q – 12 = 1 ⇒ q = 13 ⇒ pn = 25 ⇒ p = 5 e n = 2

Logo, os possíveis valores de (n, p, q) são (8, 2, 20) ou (4, 3, 15) ou (2, 5, 13)

4º)-(ITA): Em um triângulo ABC, x = ang(A) e y= ang(B) são ângulos complementares
Calcule o valor numérico da expressão:
(cos(x) - cos(y))^{2} + (sen(x) + sen(y))^{2}

Resposta:

Observação : a notação x^{y}, significa exponenciação

Ângulos complementares são aqueles cuja soma é 90 graus, ou seja x+y = pi/2

Vamos chamar a expressão acima de S:
S = (cos(x) - cos(y))^{2} + (sen(x) + sen(y))^{2} =
cos(x)^{2} + cos(y)^{2} -2cos(x)cos(y) + sen(x)^{2} + sen(y)^{2}+2sen(x)sen(y)


Agrupando temos:

S = ( cos(x)^{2} + sen(x)^{2}) + ( cos(y)^{2} + sen(y)^{2})-2(cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y))

A relação fundamental da trigonometria é dada por: cos(x)^{2} + sen(x)^{2} = 1

Então:

S = 1 + 1 -2(cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)) = 2 -2(cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y))

Mas, a fórmula da soma de arcos é dada por: cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)

Donde vem que:

S = 2 -2cos(x+y)

Como x e y são complementares temos que o cosseno é igual a zero, portanto:

S = 2

5º)- (ITA) Determine todos os números naturais n tais que:
(i+1)^{2n} + (2i)^{n} + 16i = 0, onde i é tal que i^{2} = -1

Resposta:

Analisemos o primeiro termo da igualdade acima:

(i+1)^{2n} = ((i+1)^{2})^{n}

Desenvolvendo (i+1)^{2} temos

(i+1)^{2} = i^{2} + 1^{2} + 2i = -1 + 1 + 2i = 2i

Então: (i+1)^{2n} = (2i)^{n} Levando esse resultado na igualdade original:

(2i)^{n} + (2i)^{n} + 16i = 0

Agrupando:

2(2i)^{n} = -2^{4}i

Simplificando:

(2i)^{n} = (2i)^{3}

Portanto:

n = 3

SIMULADO DE CINCO QUESTÕES INTERESSANTES, DO IME-2009/2010 (INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA) E DO ITA (INSTITUTO TECNOLÓGICO DA AERONÁUTICA).